8 方曰褡氏分〇芢(瓦亙□玄件芊)

4濡匹反﹜瓦亙□玄件芊卞方曰﹜撢醒荸毛菲戶月杅芊毛喀蓮仄凶﹝ 公及午五﹜洘峏杅蠢摯支呁豳醒荸互菲戶日木月午課屯凶﹝公仇匹﹜踡楝及冪侳及凶戶卞﹜ 呁豳醒荸支洘峏杅蠢摯毛菲戶月杅芊毛憎仄化云仁﹝〇芢反﹜撢醒荸毛菲戶月杅芊午幻午氏升⑺元匹丐月互﹜劑仄壬井曰陬ゴ毛傀艦允月优邰互丐月﹝中引引匹及喀蓮〇芢毛蝸坌咥荸仄化中木壬﹜仇木井日課屯月仇午反坌井月匹丐欠丹﹝咥荸匹五卅中卞仄化手﹜中內木反咥荸匹五月手及午渝謹仄化中月﹝〇芢互咥荸匹五卅仁化手﹜卅卞井昍ヶ公丹分午閤勻化手日尹木壬﹜蝸坌匹丐月﹝今丐﹜撢醒荸互菲戶日木凶樊反﹜方曰か仄中�瞬溥杅蠢摯及嗤僻荸毛菲戶方丹﹝

8.1 �瞬滇杅蠢摯及呁豳醒荸

8.1.1 撢醒荸及樺寧及汊蓮

呁豳醒卞褡戈蟆卞撢醒及瓦亙□玄件芊及汊蓮毛墊丹﹝4濡匹反匹反﹜ 豭卞方月瓦亙□玄件芊及濩抸毛墊中﹜螻祭摯毛憎仄凶﹝仇及杅芊反﹜躂普讀匹坌井曰支允中互﹜呁豳醒荸支�瞬溥洘峏杅蠢摯毛嗶尹月樺寧反拑咥互丐月﹝豭匹憎允仇午互請侳月及反2慼葭引匹匹﹜公木動曉卞卅月午豭卞憎允仇午互尕第チ匹丐月井日匹丐月﹝公仇匹﹜帎及失皿伕□民井日螻祭摯毛⑼仁仇午卞允月﹝唱卅勻凶濩抸毛仄化中月方丹匹丐月互﹜公及漪呿擎螃反蟈仁⑺元匹﹜

荸卞嗤中午仇欠匹反﹜躂瞬匹嗤僻匹五月⁶﹝

午中丹仇午匹丐月﹝

公木匹反﹜螻祭摯毛菲戶月仇午卞允月﹝中勾手及方丹卞﹜及杅蠢摯及荸毛 $x=\alpha$ 午允月﹝穡切﹜ $f(\alpha)=0$ 匹丐月﹝公仄化﹜⺀杴及嗤僻荸毛午允月﹝仇仇井日﹜ $\Delta x$ 分仃啖⑹仄凶午仇欠及襖反﹜

$\begin{equation*}\begin{aligned}f(x_i+\Delta x)&=f(x_i) +f^\prime(x_i)\Delta x +... ...狡恕竣冗儦蔯\\ &\simeq f(x_i)+f^\prime(x_i)\Delta x \end{aligned}\end{equation*}$

午卅月﹝手仄﹜ $f(x_i+\Delta x)=0$ ﹜穡切﹜ $\alpha=x_i+\Delta x$ 午卅月方丹卞﹜ $\Delta x$ 毛薊少仇午互匹五凶日﹜荸及煌遙反棵簽匹丐月﹝仇及樺寧﹜摯 (15)及瘉詨及摯井日﹜

$\displaystyle \Delta x \simeq -\frac{f(x_i)}{f^\prime(x_i)}$

(16)

午卅月﹝仄凶互勻化﹜ $\alpha=x_i+\Delta x$ 井日﹜慼及嗤僻荸反

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f^\prime(x_i)}$

(17)

午卅月﹝蟆莢﹜豭卞方曰菲戶凶螻祭摯午⑺元匹丐月﹝唱卅月濩抸匹丐勻凶互﹜〇芢反引勻凶仁⑺元匹丐月仇午毛咥荸仄化俓仄中﹝

8.1.2 呁豳醒荸及樺寧

8.1.2.1 螻祭摯

撢醒午引勻凶仁⑺元腔狨互﹜呁豳醒匹手嶽曰峏勾﹝凶分仄﹜呁豳楮醒匹褐邰卅冂唱鰾尥嗤匹反﹜仇及杅芊反銀尹卅中﹝氾奶仿□菟醒匹反卅仁﹜伕□仿件菟醒及

曇方曰手凝今中嫩互褐邰午卅月井日匹丐月﹝撢醒及樺寧手﹜冂唱鰾反分戶卅及午⑺元匹丐月﹝

撢醒午引勻凶仁⑺元腔狨方曰﹜杅蠢摯

$\displaystyle w(z)=0$

(18)

及嗤僻荸反﹜螻祭摯

$\displaystyle z_{i+1}=z_i-\frac{w(z_i)}{w^\prime(z_i)}$

(19)

方曰菲戶月仇午互匹五月﹝仇及摯及遙請反﹜燮幻升及撢醒及樺寧午蟈仁⑺元匹丐月﹝

蟆莢午反唱卅曰﹜撢醒及樺寧及螻祭摯毛弘仿白毛迕中卅中匹濩抸仄凶及反﹜呁豳醒卞傀艦允月凶戶匹丐月﹝呁豳醒及弘仿白反釐庍匹丐月﹝

8.1.2.2 皿伕弘仿丞綜嶽及凶戶卞

勾中瘉嗤引匹﹜FORTRAN午啜勻化C蛻賄匹反呁豳醒毛公及引引健丹仇午互匹五卅井勻凶﹝仇木互C蛻賄及澆鰾卞卅勻化中凶互﹜蜇箕匹反公木互察汋今木凶﹝FORTRAN⑺迋卞呁豳醒手公及引引健尹月及匹丐月﹝仇木反�橘卞丐曰互凶中﹝

C蛻賄匹呁豳醒毛銀丹凶戶卞反﹜項粗踏p.471卞踏井木化中月方丹卞允木壬方中﹝允卅歹切﹜

	#include <complex.h>

午目永母□白央奶伙毛奶件弁伙□玉仄﹜庍醒及滇毛

	float complex
	double complex
	long double complex

及方丹卞允月﹝騷橘反﹜double complex毛銀丹仇午﹝

銓禮梢遙反冂卞竣卞允月仇午手卅仁﹜忔騷卞梢遙閡(+,-,*,/)互銀尹月﹝引凶﹜刓1及方丹卅楮醒互迕啦今木化中月﹝

**刓 1:** `complex.h`匹爛聒今木化中月楮醒﹝楮醒及婁醒午枑曰襖反⑺元滇匹丐月﹝
楮醒抩	ム擎蘸	簽擎蘸	傀艦ム擎蘸
趕剩楮醒	`csin()`	`csinf()`	`csinl()`
	`ccos()`	`ccosf()`	`ccosl()`
	`ctan()`	`ctanf()`	`ctanl()`
菅趕剩楮醒	`casin()`	`casinf()`	`casinl()`
	`cacos()`	`cacosf()`	`cacosl()`
	`catan()`	`catanf()`	`catanl()`
蹈催瞬楮醒	`csinh()`	`csinhf()`	`csinhl()`
	`ccosh()`	`ccoshf()`	`ccoshl()`
	`ctanh()`	`ctanhf()`	`ctanhl()`
菅蹈催瞬楮醒	`casinh()`	`casinhf()`	`casinhl()`
	`cacosh()`	`cacoshf()`	`cacoshl()`
	`catanh()`	`catanhf()`	`catanhl()`
隙醒楮醒	`cexp()`	`cexpf()`	`cexpl()`
憤螺覆醒	`clog()`	`clogf()`	`clogl()`
濮覆襖	`cabs()`	`cabsf()`	`cabsl()`
尪杅漪	`csqrt()`	`csqrtf()`	`csqrtl()`
屯五曇	`cpow()`	`cpowf()`	`cpowl()`
撢朿	`creal()`	`crealf()`	`creall()`
裂朿	`cimag()`	`cimagf()`	`cimagl()`
庈剩	`carg()`	`cargf()`	`cargl()`
呁豳隋泙	`conj()`	`conjf()`	`conjl()`
伉□穴件萄及槨排	`cproj()`	`cprojf()`	`cprojl()`

8.2 �瞬滇洘峏杅蠢摯及撢醒荸(2葭及樺寧)

蟆濡匹反﹜瓦亙□玄件芊卞方月呁豳醒及嗤僻荸毛菲戶月杅芊毛憎仄凶﹝＞�瞬滇洘峏杅蠢摯＝及嗤僻荸互菲戶木木壬﹜陬友瓦亙□玄件芊及喀蓮反蔽歹曰匹丐月﹝切斤勻午か仄中互﹜瓦亙□玄件芊及喀蓮及酷曉仆午仄化﹜＞�瞬滇洘峏杅蠢摯＝及撢醒荸毛菲戶月杅芊毛憎允﹝�瞬滇洘峏杅蠢摯及呁豳醒荸毛菲戶月仇午互酸勻化中月互﹜仇及墅聒匹反憎今卅中﹝漆引匹及仇午毛咥荸仄化中木壬﹜公及杅芊手躂什卞咥荸匹五月匹丐欠丹﹝飭怗及丐月諦﹜丐月中反优邰卞Д日木凶諦反﹜憤坌匹煌遙杅芊毛嗶尹化心方丹﹝

8.2.1 �瞬滇洘峏杅蠢摯午反

漆引匹﹜踡楝反﹜＞�瞬滇及杅蠢摯＝丐月中反＞瞬溥及洘峏杅蠢摯＝反荸中凶仇午互丐月﹝ 拺尹壬﹜蟆樊反﹜

$\displaystyle x^2-3x+2=0$

(20)

及方丹卅手及匹丐月﹝詨樊及拺反﹜

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}3x+2y+z&=10\\ x+y+z&=6\\ x+2y+z&=11 \end{aligned} \right.\end{equation*}$

匹丐月﹝�瞬滇杅蠢摯反怳襞醒互2慼動曉及手及毛中中﹜洘峏杅蠢摯反怳襞醒互2蜊動曉及手及毛中丹及匹丐月﹝�瞬滇午反﹜躂瞬匹卅中午中丹啦怗匹丐月﹝怳襞醒互2慼動曉及手及﹜拺尹壬

互摯卞殖引木月午﹜公木反躂瞬卞卅日卅中及匹﹜�瞬滇杅蠢摯卞卅月﹝ 躂瞬匹卅中午中丹啦怗井日手﹜ $\sin x$ 手�瞬滇杅蠢摯毛溥勿仁月﹝仇及樺寧﹜

及慼醒反拑蜃匹丐月﹝

呁豳醒荸引匹殖戶月午﹜�瞬滇卅n慼杅蠢摯卞反n蜊及荸互丐月﹝瞬溥卅洘峏杅蠢摯﹜n葭1慼杅蠢摯及樺寧﹜溢醒墊昫互冂唱匹卅中蜃曰﹜1蜊及荸互丐月﹝匹反﹜�瞬溥卅洘峏杅蠢摯﹜n葭 m慼杅蠢摯及樺寧﹜呁豳醒毛殖戶凶荸及醒反m蜊及方丹卞閤尹月互﹜懇仄中及分欠丹井?﹝ 醒喀及燮戲卞妏仁午﹜懇仄中午中丹仇午匹丐月﹝

引凶﹜杅蠢摯及醒午怳襞醒及醒反域譙仄卅仁化反卅日卅中及反﹜騷橘及洘峏杅蠢摯午⑺元匹丐月﹝公木日及醒互⑺元匹手﹜瞬溥洘峏杅蠢摯匹反﹜溢醒墊昫及墊昫摯互未伕及樺寧﹜ 荸反域啦卞瑁引日卅中﹝�瞬滇及洘峏杅蠢摯及樺寧﹜仇木反升及方丹卅樺寧卞覆殺允月及分欠丹井?﹝颱卞反﹜坌井日卅中﹝井卅曰か仄仁飭怗蕉中杽鎖及方丹卞閤尹月互﹜仇仇匹反公及仇午反嗶尹卅中仇午卞允月﹝

8.2.2 �瞬滇洘峏杅蠢摯及拺

撢拺毛銀勻化﹜煌遙杅芊毛憎允﹝拺午仄化

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}&(x-3)^2+y^2-3=0\\ &\sin x+e^{y-1}-1=0 \end{aligned} \right.\end{equation*}$

及嗤僻荸毛菲戶月仇午毛嗶尹月﹝2葭?慼�瞬滇洘峏杅蠢摯匹丐月﹝?慼午反﹜中今今井中中笛蛹卞踏中化中月互﹜揪忮仄化手日中凶中﹝拑蜃慼午中勻化方中方丹卅竣互允月互憤耨互拑中及匹?穴□弁毛尥仃化云仁﹝

今化﹜仇及杅蠢摯及荸匹丐月互﹜公木毛弘仿白卞憎允﹝2葭匹丐木壬弘仿白卞踏仁仇午互匹五月及匹丐月﹝動票及腔狨反﹜エ啦及葭及杅蠢摯匹手嶽曰峏勾仇午反咥荸仄化俓仄中﹝ 仇木日及杅蠢摯毛弘仿白卞踏仁午豭11及方丹卞卅月﹝豭醱卞憎允方丹卞﹜鰾A午B卞撢醒荸互丐月及互坌井月匹丐欠丹﹝

**豭 11:** �瞬滇杅蠢摯及弘仿白午撢醒荸
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/nonlinear_eqs/ZeroPoint.eps}$

賡渝襖井日請�仄化﹜荸匹丐月A支B鰾卞嗤勿仁杅芊毛嗶尹月﹝公仇匹﹜慼及方丹卅楮醒毛嗶尹月﹝

$\displaystyle f(x,y)$	$\displaystyle =(x-3)^2+y^2-3$	(23)
$\displaystyle g(x,y)$	$\displaystyle =\sin x+e^{y-1}-1$	(24)

手切欠氏﹜

午

互⑺凜卞嶽曰峏勾﹜

毛菲戶凶中歹仃匹丐月﹝

中勾手及方丹卞﹜仇及�瞬滇洘峏杅蠢摯及荸毛 $(\alpha_x, \alpha_y)$ 午允月﹝癲螺﹜ $f(\alpha_x, \alpha_y)=0$ 井勾 $g(\alpha_x, \alpha_y)=0$ 匹丐月﹝公仄化﹜⺀杴及嗤僻荸毛午允月﹝仇仇井日﹜ $(\Delta x, \Delta y)$ 分仃啖⑹仄凶午仇欠及襖反﹜

$\begin{equation*}\begin{aligned}f(x_i+\Delta x, y_i+\Delta y)&=f(x_i, y_i) +\fra... ...l x}\Delta x +\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y \end{aligned}\end{equation*}$

午卅月﹝

及樺寧手蟈仁⑺元匹丐月﹝公木日﹜2勾毛引午戶﹜ $\simeq$ 毛

卞躂允午

$\displaystyle f(x_i+\Delta x, y_i+\Delta y)$	$\displaystyle =f(x_i, y_i) +\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$	(26)
$\displaystyle g(x_i+\Delta x, y_i+\Delta y)$	$\displaystyle =g(x_i, y_i) +\frac{\partial g}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial g}{\partial y}\Delta y$	(27)

午卅月﹝

仇仇匹﹜ $f(x_i+\Delta x, y_i+\Delta y)=0$ 井勾 $g(x_i+\Delta x, y_i+\Delta y)=0$ 午卅月方丹卞﹜ $\Delta x$ 午 $\Delta y$ 毛薊少午允月﹝仇及方丹卞允月凶戶卞反﹜ $\Delta x$ 午 $\Delta y$ 反勾亢及洘峏杅蠢摯毛坢凶六壬方中﹝摯(26)午 (27)及爾彶毛未伕午云五摯毛幫咥允木壬

$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{... ...\Delta y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-f(x_i,y_i)\\ -g(x_i,y_i) \end{pmatrix}$

(28)

午卅月﹝仇及洘峏杅蠢摯毛荸中化﹜ $(\Delta x, \Delta y)$ 毛菲戶月﹝ $\alpha_x \simeq x_i+\Delta x$ 仄凶互勻化﹜ $\alpha_y \simeq x_i+\Delta x$ 井日﹜慼及嗤僻荸反

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}x_{i+1}&=x_i+\Delta x\\ y_{i+1}&=y_i+\Delta y \end{aligned} \right.\end{equation*}$

午卅月﹝仇木互﹜�瞬滇洘峏杅蠢摯及螻祭摯匹丐月﹝

8.2.3 洘峏匹拑中樺寧午及失瓜伕斥□

動蟆及牖僅匹憎仄凶杅蠢摯及撢醒荸支呁豳醒荸毛菲戶凶及午⑺元方丹卅仇午毛﹜仇仇匹手墊勻凶﹝摯手僻化中月仄﹜嗶尹杅手⑺元匹丐月﹝動蟆反﹜

荸卞嗤中午仇欠匹反﹜躂瞬匹嗤僻匹五月⁷﹝

及方丹卅嶺撙毛厙迕仄凶﹝2葭及�瞬滇洘峏杅蠢摯匹手⑺元匹﹜

荸卞嗤中午仇欠匹反﹜尪昍匹嗤僻匹五月⁸﹝

午中丹嶺撙毛厙迕仄化中月﹝仇及嶺撙毛爛恟讀卞刓仄凶手及互氾奶仿□顫釩匹丐月﹝卅月幻升氾奶仿□顫釩反忐厙卅手及匹丐月﹝

8.3 �瞬滇洘峏杅蠢摯及荸(聶葭及樺寧)

蟆懍匹反﹜2葭及�瞬滇洘峏杅蠢摯及瓦亙□玄件芊匹及煌遙杅芊毛憎仄凶﹝仇仇匹反﹜公木毛域�祭允月﹝仇仇匹憎允杅芊反﹜呁豳醒荸卞手贗迕匹五月﹝

N葭及�瞬滇洘峏杅蠢摯反﹜

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}&f_1(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_N)=0\\ &f_2(x_... ...0mm}\vdots\\ &f_N(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_N)=0 \end{aligned} \right.\end{equation*}$

午踏仁仇午互匹五月﹝怳襞醒反﹜

$\displaystyle \boldsymbol{X}=(x_1,x_2,x_3,\cdots+x_N)$

(31)

午矛弁玄伙匹刓蜇允月﹝允月午﹜

⺀杴及杅蠢摯反﹜ $f_i(\boldsymbol{X})$ 午踏五刓今木月及匹﹜ 刓蜇互棵簽卞卅月﹝仇木毛﹜燮幻升午⑺元方丹卞氾奶仿□顫釩允月午

$\displaystyle f_i(\boldsymbol{X}+\Delta\boldsymbol{X})= f_i(\boldsymbol{X})+ \f... ...\cdots+ \frac{\partial f_i}{\partial x_N}\Delta x_N+ O(\Delta \boldsymbol{X}^2)$

(32)

午卅月﹝ $i=1,2,3,\cdots,N$ 及蟈化卞卞云中化﹜ $f_i(\boldsymbol{X}+\Delta\boldsymbol{X})=0$ 卞卅月方丹卞﹜ $\Delta\boldsymbol{X}=(\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3,\cdots ,\Delta x_N)$ 毛薊少﹝公及方丹卞薊少凶戶卞反﹜2慼動嫦及嫖慼及嫩毛拑骰允月午

$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial... ...bol{X}) \\ -f_3(\boldsymbol{X}) \\ \ldots \\ -f_N(\boldsymbol{X}) \end{pmatrix}$

(33)

及瞬溥匹丐月N葭1慼洘峏杅蠢摯互嶽曰峏勾﹝仇木毛荸中化﹜ $\Delta\boldsymbol{X}=(\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3,\cdots ,\Delta x_N)$ 毛菲戶月﹝公丹允月午﹜方曰蕞及荸卞嗤中 $\boldsymbol{X}^{new}$ 反﹜ $\boldsymbol{X}^{new}=\boldsymbol{X}^{old}+\Delta \boldsymbol{X}$ 午煌遙匹五月﹝仄勾仇中方丹匹丐月互﹜嶽坌匹踏五刓允午

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}x_1^{new}&=x_1^{old}+\Delta x_1 \\ x_2^{... ...\ &\vdots\\ x_N^{new}&=x_N^{old}+\Delta x_N \end{aligned} \right.\end{equation*}$

午卅月

�瞬滇及洘峏杅蠢摯毛瞬溥及洘峏杅蠢摯匹煌遙仄化中月歹仃匹丐月﹝荸五支允中摯卞卅勻凶坌﹜�汊煌遙互优邰午卅勻化中月﹝

石□丞矢□斥: Yamamoto's laboratory
難樊: 輒呿噱閥

Yamamoto Masashi
尪嶽19コ6畸24ざ